Esperanza matemática
Un sistema no se juzga por la última operación ni por la última semana. Se juzga por lo que produce, de media, cada vez que se ejecuta. Ese número tiene nombre, una fórmula corta y un problema: solo se conoce con muchas operaciones.
- Qué significa esperanza matemática aplicada a un sistema y por qué se expresa en R por operación
- Cómo calcularla a partir de win rate, ganancia media y pérdida media
- Cómo comparar tres sistemas con perfiles distintos y ver cuál tiene ventaja y cuánta
- Por qué la esperanza no se nota en 10 ni en 30 operaciones, y qué consecuencias tiene eso
Qué es
La esperanza matemática (o expectancy) de un sistema es el resultado medio, en R, que produce cada operación cuando el sistema se ejecuta muchas veces siguiendo sus reglas. Si es positiva, el sistema tiene ventaja; si es negativa, pierde aunque tenga rachas buenas.
La fórmula combina las dos cosas que ya conoces —con qué frecuencia ganas y cuánto ganas o pierdes cuando lo haces—:
Esperanza (R) = WR × ganancia media (R) − LR × pérdida media (R)
Donde WR es el win rate, LR el loss rate, la ganancia media es el promedio en R de las operaciones ganadoras y la pérdida media el promedio en R de las perdedoras (en valor absoluto). Si tu disciplina con el stop es perfecta, la pérdida media es 1R. En la práctica suele ser algo más, por slippage y por errores.
Un sistema acierta el 45% de las veces, sus ganadoras ganan de media 1,8R y sus perdedoras pierden de media 1,05R. Esperanza = 0,45 × 1,8 − 0,55 × 1,05 = 0,81 − 0,58 = +0,23R por operación. Por cada 100 operaciones, el sistema produce de media unos 23R.
Fíjate en la última frase: de media. La esperanza no dice lo que pasará en la próxima operación ni en las próximas diez. Dice hacia dónde tiende la suma cuando el número de operaciones crece.
Tres sistemas de ejemplo
Para ver cómo se comporta la fórmula, compara tres sistemas con perfiles muy distintos. Todos con pérdida media de 1R para simplificar.
Sistema A — reversión selectiva. WR 35%, ganancia media 3R. Esperanza = 0,35 × 3 − 0,65 × 1 = 1,05 − 0,65 = +0,40R. Gana mucho por operación, pero pierde casi dos de cada tres veces. Rachas de pérdidas largas y frecuentes.
Sistema B — continuación con confirmación. WR 60%, ganancia media 1,2R. Esperanza = 0,60 × 1,2 − 0,40 × 1 = 0,72 − 0,40 = +0,32R. Gana menos por operación que A, pero la curva es más suave.
Sistema C — scalping de alto acierto. WR 75%, ganancia media 0,4R. Esperanza = 0,75 × 0,4 − 0,25 × 1 = 0,30 − 0,25 = +0,05R. Positivo, pero por muy poco: cualquier aumento de la pérdida media (slippage, un stop movido) lo pone en negativo. Un sistema así vive al borde.
Y un cuarto, que es el más común en principiantes: Sistema D — buen análisis, mala gestión. WR 55%, ganancia media 1R (cierra pronto), pérdida media 1,4R (a veces mueve el stop). Esperanza = 0,55 × 1 − 0,45 × 1,4 = 0,55 − 0,63 = −0,08R. Acierta más de la mitad de las veces y pierde dinero.
El sistema D es la razón por la que este módulo existe. Se puede leer bien el mercado y tener esperanza negativa. La lectura decide el win rate; la gestión decide la ganancia y la pérdida medias. Las dos cosas entran en la fórmula con el mismo peso.
Esperanza por operación y esperanza por unidad de tiempo
La esperanza por operación no lo dice todo. Un sistema con +0,40R que genera dos operaciones a la semana produce menos que uno con +0,20R que genera dos al día, si ambos se ejecutan igual de bien. Por eso conviene tener presente una segunda cifra: esperanza × frecuencia = R esperados por semana o por mes.
Pero la frecuencia tiene un límite práctico que no aparece en la fórmula: cada operación consume atención, cuesta comisiones y slippage, y expone a errores. Un sistema que necesita veinte operaciones al día para ser rentable es muy frágil en manos humanas.
En FUNESMA79 el máximo es de dos operaciones al día. Es una decisión personal que renuncia deliberadamente a frecuencia a cambio de calidad de ejecución y de un límite claro al daño diario. Con esa restricción, la esperanza por operación tiene que ser suficientemente alta para que merezca la pena; un sistema tipo C no encaja en ese marco.
Esto conecta con la lección de límites de este módulo: las restricciones de frecuencia no son un capricho, son una forma de controlar la varianza y el desgaste.
Por qué una serie corta no dice casi nada
Aquí está la parte incómoda. La esperanza es un promedio a largo plazo, y en el corto plazo el resultado está dominado por el azar del orden en que llegan ganadoras y perdedoras.
Toma el sistema B (WR 60%, +0,32R). En 10 operaciones, lo esperable es acertar 6. Pero acertar solo 3 de 10 tiene una probabilidad de alrededor del 4%; acertar 9 de 10, cerca del 4% también. Es decir: en una de cada 25 series de diez operaciones, un sistema claramente rentable parecerá un desastre, y en otra de cada 25 parecerá una máquina. Ninguna de las dos series dice nada sobre el sistema.
En 30 operaciones la dispersión se reduce, pero sigue siendo grande: el win rate observado puede oscilar razonablemente entre el 45% y el 75% con un WR real del 60%. En 100 ya se estrecha (aproximadamente entre el 50% y el 70%). Con varios cientos empieza a ser una estimación en la que apoyarse.
Consecuencias prácticas:
- No cambies el sistema por diez operaciones malas. Si estaban dentro del plan, son varianza. El módulo 12 explica cómo distinguir varianza de sistema roto.
- No te creas el sistema por diez operaciones buenas. Es igual de peligroso, porque te lleva a subir tamaño justo antes de la racha mala que la matemática garantiza que llegará.
- La esperanza se estima, no se conoce. Cualquier número que calcules con tu journal lleva un margen de error, y ese margen se reduce despacio.
Todo esto asume que las operaciones son independientes y que el sistema no cambia. En trading real, ni una cosa ni la otra son del todo ciertas: tú cambias (cansancio, confianza, miedo) y el mercado cambia (régimen de mercado). La matemática es una guía, no una promesa.
Qué hacer con la esperanza
La utilidad de calcular la esperanza no es presumir de un número. Es tener un instrumento de diagnóstico con cuatro piezas separadas —WR, ganancia media, pérdida media, frecuencia— y poder ver cuál se está deteriorando.
- Si la esperanza baja porque baja el WR con la misma ganancia media, el problema está en la lectura o en el contexto (el mercado ha cambiado, o estás forzando setups).
- Si baja porque baja la ganancia media, estás cerrando pronto o tus objetivos son peores.
- Si baja porque sube la pérdida media, estás moviendo stops, sufriendo más slippage o entrando con stops más amplios de lo que anotas.
Esa descomposición es exactamente lo que revisarás en el journal semanal del módulo 12. Sin la fórmula, solo verías que 'va mal'. Con ella, ves qué va mal.
Ejemplo: el mismo sistema, dos meses distintos
Un trader ejecuta un sistema tipo B (WR real 60%, ganancia media 1,2R) durante dos meses, con unas 20 operaciones por mes.
Mes 1: acierta 15 de 20. Resultado: 15 × 1,2 − 5 × 1 = +13R. Piensa que ha encontrado algo excepcional y considera doblar el tamaño.
Mes 2: acierta 9 de 20. Resultado: 9 × 1,2 − 11 × 1 = −0,2R. Piensa que el sistema ha dejado de funcionar y considera cambiarlo.
Los dos meses son resultados perfectamente normales del mismo sistema con esperanza +0,32R: lo esperable en 40 operaciones eran unos +13R en total, y la suma de los dos meses es +12,8R. La varianza los repartió de forma muy desigual. Si hubiera doblado el tamaño tras el mes 1, el mes 2 habría doblado el daño en dinero. Si cambia el sistema tras el mes 2, abandona algo que funciona.
La única decisión razonable en ambos meses era la misma: seguir ejecutando y seguir registrando.
Error frecuente
Calcular la esperanza con los números planificados ('busco 2R, acierto la mitad, gano 0,5R por operación') en lugar de con los realizados. Las cifras planificadas describen la intención; las realizadas describen lo que pasa. Casi siempre la ganancia media realizada es menor que la planificada (objetivos no alcanzados, parciales) y la pérdida media realizada es mayor que 1R (slippage, algún stop movido).
Un sistema que 'en teoría' tiene +0,5R puede tener +0,1R o −0,05R en la práctica. La única esperanza que existe es la que sale del journal.
Ejercicio
Calcula la esperanza de estos cuatro sistemas, todos con pérdida media 1R salvo que se indique: (1) WR 30%, ganancia media 3,5R. (2) WR 50%, ganancia media 1R. (3) WR 65%, ganancia media 0,8R. (4) WR 50%, ganancia media 1,6R, pérdida media 1,3R. Ordénalos de mayor a menor esperanza y anota cuál te parece más fácil de ejecutar psicológicamente y por qué. Casi nunca coinciden.
Después, con una moneda o una hoja de cálculo, simula 20 operaciones del sistema (2): lanza la moneda 20 veces y suma +1 por cara y −1 por cruz. Repite la serie cinco veces. Observa cuánto varían los resultados de un sistema cuya esperanza es exactamente cero.
Qué debes recordar
- Esperanza (R) = WR × ganancia media − LR × pérdida media. Positiva: el sistema tiene ventaja; negativa: pierde aunque acierte mucho.
- Un win rate alto con ganancias pequeñas y pérdidas algo mayores de 1R da esperanza negativa: se puede leer bien y perder.
- La esperanza por operación se multiplica por la frecuencia, pero la frecuencia tiene costes; FUNESMA79 la limita a dos operaciones al día por decisión propia.
- En 10 o 30 operaciones el resultado lo domina el azar del orden; la esperanza solo se estima con cientos.
- Su utilidad es diagnóstica: descompone el problema en lectura (WR), salidas (ganancia media) y disciplina (pérdida media).